Intégrale de Riemann et Notion d'Aire
Intégration et Primitives
Intégrale de Riemann
Approche géométrique
Pour une fonction $f$ continue et positive sur $[a ; b]$, l'intégrale :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$
représente l'aire du domaine délimité par :
- la courbe $\mathcal{C}_f$
- l'axe des abscisses
- les droites $x = a$ et $x = b$
Construction par les sommes de Riemann
On subdivise $[a ; b]$ en $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$0 sous-intervalles de largeur $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$1.
Somme de Riemann (rectangles à gauche) :
$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$
L'intégrale est la limite de ces sommes quand $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$2 :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n$$
Interprétation en probabilités
Pour une variable aléatoire continue $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$3 de densité $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$4 :
$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$
L'aire sous la courbe de densité représente la probabilité.
Cas d'une fonction négative
Si $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$5 sur $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$6, alors $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$7.
L'aire géométrique est $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$8.