Comparaison, Inégalités et Valeur Moyenne
Intégration et Primitives
Propriétés de Comparaison et Valeur Moyenne
Positivité de l'intégrale
Si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ avec $a \leq b$, alors :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \geq 0$$
Comparaison
Si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a ; b]$, alors :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$
Inégalité de la moyenne
Si $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$0 sur $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$1, alors :
$$m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq M(b - a)$$
Valeur moyenne
La valeur moyenne de $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$2 sur $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$3 est :
$$\mu = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$
C'est la hauteur du rectangle de même base $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$4 ayant la même aire que le domaine sous la courbe.
Distinction avec l'espérance
| Notion | Formule | Interprétation |
|---|---|---|
| Valeur moyenne de $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$5 | $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$6 | Moyenne des valeurs de $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$7 |
| Espérance de $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$8 | $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$9 | Moyenne pondérée des valeurs de $$m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq M(b - a)$$0 |
Inégalité triangulaire
$$\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx$$