Applications et Exercices d'Illustration
Intégration et Primitives
Applications
Exercice 1 : Loi uniforme
On considère une loi uniforme sur $[0 ; 60]$ de densité $f(x) = \dfrac{1}{60}$.
$$P(15 \leq X \leq 40) = \int_{15}^{40} \frac{1}{60}\,dx = \left[\frac{x}{60}\right]_{15}^{40} = \frac{40 - 15}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$$
L'espérance est $E(X) = \dfrac{0 + 60}{2} = 30$.
Exercice 2 : Coût marginal et coût total
Le coût marginal est $C'(x) = 0{,}15x^2 - 2{,}1x + 8$ avec $C(0) = 4$ (milliers d'euros).
Par intégration :
$$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$
Condition initiale : $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$0.
$$C(x) = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + 4$$
Exercice 3 : Aire entre deux courbes
Calculer l'aire entre $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$1 et $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$2 sur $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$3.
On a $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$4 sur $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$5, donc :
$$\mathcal{A} = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
Exercice 4 : Valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$6 sur $$C(x) = \int C'(x)\,dx = 0{,}05x^3 - 1{,}05x^2 + 8x + K$$7 :
$$\mu = \frac{1}{\pi - 0}\int_{0}^{\pi} \sin(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi}(1 + 1) = \frac{2}{\pi}$$