Représentations Paramétriques de Droites

Droites dans l'Espace

Détermination d'une droite

Une droite $(d)$ est définie par :
- un point $A(x_A, y_A, z_A)$
- un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ non nul

Représentation paramétrique

Un point $M(x, y, z)$ appartient à $(d)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, soit $\vec{AM} = t\vec{u}$ :

$$\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Exemple

Droite passant par $A(1, 2, -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(3, -1, 2)$ :

$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Positions relatives de deux droites

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ peuvent être :

Droites et plans

• $(d) \subset \mathcal{P}$ : $\vec{u}$ orthogonal à $\vec{n}$ et un point de $(d)$ dans $\mathcal{P}$
• $(d) \parallel \mathcal{P}$ : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ et aucun point commun
• $(d)$ sécante à $\mathcal{P}$ : $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$