Représentations Paramétriques de Droites
Géométrie dans l'Espace
Droites dans l'Espace
Détermination d'une droite
Une droite $(d)$ est définie par :
- un point $A(x_A, y_A, z_A)$
- un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ non nul
Représentation paramétrique
Un point $M(x, y, z)$ appartient à $(d)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, soit $\vec{AM} = t\vec{u}$ :
$$\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Exemple
Droite passant par $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$0 de vecteur directeur $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$1 :
$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Positions relatives de deux droites
Deux droites $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$2 et $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$3 de vecteurs directeurs $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$4 et $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$5 peuvent être :
| Position | Condition |
|---|---|
| Parallèles | $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$6 et $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$7 colinéaires |
| Confondues | Parallèles + un point commun |
| Sécantes | Non parallèles + un point commun |
| Non coplanaires | Ni parallèles ni sécantes |
Droites et plans
- $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$8 : $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$9 orthogonal à $(d)$0 et un point de $(d)$1 dans $(d)$2
- $(d)$3 : $(d)$4 et aucun point commun
- $(d)$5 sécante à $(d)$6 : $(d)$7