Orthogonalité et Produit Scalaire

Produit Scalaire dans l'Espace

Définition géométrique

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$

où $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$ est l'angle entre les deux vecteurs.

Définition analytique

Pour $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$

Propriétés algébriques

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Homogénéité : $(\lambda\vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$

Orthogonalité

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx' + yy' + zz' = 0$$

Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ :

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A})$$

Le théorème de Pythagore en est le cas particulier où $\hat{A} = \frac{\pi}{2}$.

Calcul d'angle entre vecteurs

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$$