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Intersections et Systèmes Linéaires
Géométrie dans l'Espace
Intersections dans l'Espace
Intersection de deux plans
Deux plans sécants s'intersectent selon une droite.
On résout le système de 2 équations à 3 inconnues en paramétrant une variable.
Intersection de trois plans
Le système de 3 équations à 3 inconnues s'écrit sous forme matricielle :
$$A \times X = B$$
avec $A$ la matrice des coefficients, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B$ le second membre.
Types d'intersections
| $\det(A)$ | Nature | Intersection |
|---|---|---|
| $\neq 0$ (inversible) | Solution unique | Point |
| $= 0$ | Infinité de solutions | Droite ou plan |
| $= 0$ | Aucune solution | Vide (plans parallèles) |
Si $\det(A) \neq 0$ : $X = A^{-1}B$ (solution unique).
Intersection droite-plan
Pour trouver l'intersection de la droite $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}$ avec le plan $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$ :
- Substituer les expressions paramétriques dans l'équation du plan
- Résoudre en $t$
- Si une solution $t_0$ existe, le point d'intersection a pour coordonnées $(x_A + t_0 a, \; y_A + t_0 b, \; z_A + t_0 c)$
Exemple
Plan $\mathcal{P} : 2x + y + z = 5$, $\mathcal{P}' : x + y = 3$, $\mathcal{P}'' : y + z = 2$.
Le système donne $\det(A) = 2 \neq 0$, donc l'intersection est un point unique.