Mathématiques
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Intersections et Systèmes Linéaires
Géométrie dans l'Espace
Intersections dans l'Espace
Intersection de deux plans
Deux plans sécants s'intersectent selon une droite.
On résout le système de 2 équations à 3 inconnues en paramétrant une variable.
Intersection de trois plans
Le système de 3 équations à 3 inconnues s'écrit sous forme matricielle :
$$A \times X = B$$
avec $A$ la matrice des coefficients, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B$ le second membre.
Types d'intersections
| $\det(A)$ | Nature | Intersection |
|---|---|---|
| $\neq 0$ (inversible) | Solution unique | Point |
| $= 0$ | Infinité de solutions | Droite ou plan |
| $= 0$ | Aucune solution | Vide (plans parallèles) |
Si $\det(A) \neq 0$ : $X = A^{-1}B$ (solution unique).
Intersection droite-plan
Pour trouver l'intersection de la droite $A$0 avec le plan $A$1 :
- Substituer les expressions paramétriques dans l'équation du plan
- Résoudre en $A$2
- Si une solution $A$3 existe, le point d'intersection a pour coordonnées $A$4
Exemple
Plan $A$5, $A$6, $A$7.
Le système donne $A$8, donc l'intersection est un point unique.