Fondements Vectoriels et Combinaisons Linéaires

Fondements Vectoriels dans l'Espace

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, tout vecteur $\vec{u}$ est défini par ses trois coordonnées :

$$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Pour deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ :

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$

Un vecteur $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe $m, n \in \mathbb{R}$ tels que :

$$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :

$$\exists k \in \mathbb{R}, \quad \vec{v} = k\vec{u}$$

Conséquence : trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres :

$$\exists (m, n) \in \mathbb{R}^2, \quad \vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$

Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires $\iff$ $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires.

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$