Fondements Vectoriels et Combinaisons Linéaires

Fondements Vectoriels dans l'Espace

Vecteurs et coordonnées

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, tout vecteur $\vec{u}$ est défini par ses trois coordonnées :

$$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Pour deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ :

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$

Combinaison linéaire

Un vecteur $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$0 est combinaison linéaire de $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$1 et $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$2 s'il existe $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$3 tels que :

$$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$

Colinéarité

Deux vecteurs $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$4 et $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$5 sont colinéaires si et seulement si :

$$\exists k \in \mathbb{R}, \quad \vec{v} = k\vec{u}$$

Conséquence : trois points $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$6, $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$7, $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$8 sont alignés $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$9 $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$0 et $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$1 sont colinéaires.

Coplanarité

Trois vecteurs $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$2, $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$3, $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$4 sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres :

$$\exists (m, n) \in \mathbb{R}^2, \quad \vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$

Quatre points $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$5, $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$6, $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$7, $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$8 sont coplanaires $$\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$$9 $$\exists k \in \mathbb{R}, \quad \vec{v} = k\vec{u}$$0, $$\exists k \in \mathbb{R}, \quad \vec{v} = k\vec{u}$$1, $$\exists k \in \mathbb{R}, \quad \vec{v} = k\vec{u}$$2 sont coplanaires.

Norme d'un vecteur