Exercices d'Application

Exercices Corrigés

Énoncé : Soient $\vec{u}(1, 1, 0)$ et $\vec{v}(0, \sqrt{3}, \sqrt{3})$. Calculer l'angle $\theta$ entre ces vecteurs.

Correction :

$\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$\|\vec{v}\| = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$
$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$
Donc $\theta = \dfrac{\pi}{3}$

Énoncé : Déterminer l'équation du plan passant par $A(1, 0, -1)$ de vecteur normal $\vec{n}(2, 3, -1)$.

Correction :

$2(x-1) + 3(y-0) + (-1)(z-(-1)) = 0$

$2x - 2 + 3y - z - 1 = 0$

$$2x + 3y - z - 3 = 0$$

Énoncé : Calculer la distance du point $M(1, 2, 3)$ au plan $x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Correction :

$$d = \frac{|1 + 4 - 6 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{0}{3} = 0$$

Le point $M$ appartient au plan.

Énoncé : Trouver l'intersection de la droite $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ avec le plan $x + y + z = 10$.

Correction :

$(1+t) + (2-t) + (3+2t) = 10 \implies 6 + 2t = 10 \implies t = 2$

Point d'intersection : $(3, 0, 7)$.