Équations Cartésiennes de Plans
Géométrie dans l'Espace
Plans dans l'Espace
Vecteur normal
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Équation cartésienne
Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ a pour équation :
$$ax + by + cz + d = 0$$
où $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$.
Justification : $M \in \mathcal{P} \iff \vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$
$$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$$
Lecture de l'équation
Dans l'équation $ax + by + cz + d = 0$ :
- Les coefficients $(a, b, c)$ donnent un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$
Positions relatives de deux plans
Pour $\mathcal{P}_1 : a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ :
| Position | Condition |
|---|---|
| Parallèles | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires |
| Confondus | Parallèles + un point commun |
| Sécants | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ non colinéaires |
Distance d'un point à un plan
$$d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Plans perpendiculaires
$\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$