Résolution d'Équations Trigonométriques

Équations fondamentales

$$\cos(x) = \cos(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

$$\sin(x) = \sin(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

$$\tan(x) = \tan(\alpha) \iff x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Inéquations

Exemple : $\sin(x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi; \pi]$.

1. Équation associée : $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ donne $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = \frac{2\pi}{3}$.
2. Sur le cercle, on repère l'arc en dessous de $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Solution : $S = \left]-\pi; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}; \pi\right]$.

Méthode $a\cos x + b\sin x = c$

On pose $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ et on trouve $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$, $\sin\theta = \frac{b}{r}$.

L'équation se simplifie en : $\cos(x - \theta) = \frac{c}{r}$.