Applications : Formules d'Euler et de Moivre

Exponentielle complexe

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

Formule de Moivre

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

La formule de Moivre est l'outil pour exprimer $\cos(nx)$ en fonction de $\cos(x)$.

Formules d'Euler

$$\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$

$$\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Technique de Linéarisation

Transformer une puissance ($\cos^n x$) en somme de termes $\cos(kx)$.

Exemple : $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$0

$$\cos^3(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix})$$

$$= \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos(x)$$