Logarithme Népérien et Calcul Intégral

ln et Intégration

Définition intégrale

La fonction $\ln$ est l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ qui s'annule en 1 :

$$\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

Primitives de $\frac{u'}{u}$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors les primitives de $\dfrac{u'}{u}$ sont :

$$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$

Exemples de calcul

$$\int_1^e \frac{1}{t}\,dt = [\ln(t)]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$

$$\int_1^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = [\ln(x^2 + 1)]_1^2 = \ln(5) - \ln(2)$$

Aire sous la courbe

L'aire sous la courbe de $\frac{1}{x}$ entre $1$ et $a$ (avec $a > 1$) vaut $\ln(a)$.