Introduction et Fondements de la Fonction ln

Définition de la Fonction Logarithme Népérien

Théorème d'existence

La fonction exponentielle $\exp : x \mapsto e^x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]0\,;\,+\infty[$.

Par le théorème de la bijection, elle admet une réciproque unique appelée fonction logarithme népérien, notée $\ln$.

Ensemble de définition

$$\mathcal{D}_{\ln} = \,]0\,;\,+\infty[$$

Relation fondamentale

Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ :

$$y = \ln(x) \iff x = e^y$$

Valeurs particulières

• $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$
• $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$

Compositions réciproques

$$\forall x \in \mathbb{R},\; \ln(e^x) = x \qquad \forall x > 0,\; e^{\ln x} = x$$