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Étude Analytique Complète
La Fonction Logarithme Népérien
Étude Analytique de ln
Dérivée
$$(\ln(x))' = \frac{1}{x} \quad \text{pour } x > 0$$
Forme composée : si $u$ est dérivable et strictement positive :
$$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$$
Sens de variation
Pour tout $x > 0$ : $\dfrac{1}{x} > 0$, donc $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Continuité
$\ln$ est dérivable, donc continue sur $]0\,;\,+\infty[$, ce qui justifie son caractère bijectif.
Limites aux bornes
$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$
L'axe des ordonnées ($x = 0$) est asymptote verticale.
Tableau de variation
| $x$ | $0$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $\ln'(x)$ | $+$ | ||
| $\ln(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |