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Comparaison avec la Fonction Exponentielle
La Fonction Logarithme Népérien
ln et exp : Fonctions Réciproques
Symétrie axiale
Les courbes $\mathcal{C}_{\exp}$ et $\mathcal{C}_{\ln}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.
Justification : si $M(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_{\exp}$, alors $b = e^a$, donc $a = \ln(b)$, et $M'(b\,;\,a) \in \mathcal{C}_{\ln}$.
Tableau comparatif
| Critère | $\exp$ | $\ln$ |
|---|---|---|
| Ensemble de définition | $\mathbb{R}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| Ensemble image | $]0\,;\,+\infty[$ | $\mathbb{R}$ |
| Comportement en $-\infty$ (ou $0^+$) | $\lim e^x = 0$ | $\lim \ln(x) = -\infty$ |
| Comportement en $+\infty$ | $\lim e^x = +\infty$ | $\lim \ln(x) = +\infty$ |
| Valeur remarquable | $e^0 = 1$ | $\ln(1) = 0$ |
| Dérivée | $(\exp)' = \exp$ | $(\ln)' = 1/x$ |
| Convexité | Convexe | Concave |
Croissances comparées
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$
L'exponentielle l'emporte sur le logarithme en $+\infty$.