Applications et Exercices Types

Applications du Logarithme

Résolution d'équations logarithmiques

Pour résoudre $\ln(A(x)) = \ln(B(x))$ :

1. Ensemble de validité : $A(x) > 0$ et $B(x) > 0$
2. Bijectivité : $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (car $\ln$ strictement croissante)
3. Vérification : les solutions doivent appartenir à l'ensemble de validité

Exemple

Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$.

• Validité : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$
• Équation : $2x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4$
• Vérification : $4 > \frac{1}{2}$ ✓

Croissances comparées

Résultat fondamental :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$

Démonstration : posons $X = \ln(x)$, alors $x = e^X$ et quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$.

$$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$

Car $\lim \frac{e^X}{X} = +\infty$ (l'exponentielle l'emporte).

Résolution d'inéquations

$\ln(x) > 2 \iff x > e^2$ (croissance de $\ln$)

$\ln(x) < -1 \iff 0 < x < e^{-1} = \frac{1}{e}$