Étude Analytique de la Fonction Exponentielle

Dérivée

$$(e^x)' = e^x$$

Pour $u$ dérivable : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.

Exemple : $g(x) = xe^x$ ⟹ $g'(x) = e^x(1+x)$.

Sens de variation

$e^x > 0$ pour tout $x$, donc $f'(x) = e^x > 0$ : l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites

$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$

La limite en $-\infty$ donne une asymptote horizontale $y = 0$.

Croissance comparée

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$

L'exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance.

Convexité

$f''(x) = e^x > 0$ : l'exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ (courbe au-dessus de ses tangentes).