Équations Différentielles du Type $y' = ay$

Théorème

Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions :

$$f(x) = Ce^{ax}$$

où $C$ est une constante réelle.

Méthode de résolution

1. Identifier la valeur de $a$.
2. Écrire la solution générale $f(x) = Ce^{ax}$.
3. Déterminer $C$ avec la condition initiale $f(x_0) = y_0$ :

$$Ce^{ax_0} = y_0 \implies C = y_0 e^{-ax_0}$$

Exemple

Résoudre $y' = 2y$ avec $f(0) = 3$.

• Solution générale : $f(x) = Ce^{2x}$
• Condition initiale : $f(0) = C = 3$
• Solution : $f(x) = 3e^{2x}$