Mathématiques
Premium 🔒
≈ 30 min
Équations Différentielles y' = ay + b
Fonction Exponentielle et Équations Différentielles
Équations Différentielles du Type $y' = ay + b$
Solution générale
$$f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$$
Tableau récapitulatif
| Équation | Solution générale | Constante $C$ |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | $Ce^{ax}$ | $C = f(x_0)/e^{ax_0}$ |
| $y' = ay + b$ | $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ | $C = \left(f(x_0) + \frac{b}{a}\right)/e^{ax_0}$ |
Solution particulière constante
On pose $f(x) = k$ (donc $f'(x) = 0$) :
$$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$
Exemple : $y' = -3y + 6$ avec $f(0) = 4$
- $a = -3$, $b = 6$ → solution générale : $f(x) = Ce^{-3x} + 2$
- $f(0) = C + 2 = 4$ → $C = 2$
- Solution : $f(x) = 2e^{-3x} + 2$