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Propriétés Algébriques
Fonction Exponentielle et Équations Différentielles
Propriétés Algébriques de l'Exponentielle
L'exponentielle transforme les sommes en produits.
Formules fondamentales
Pour tous réels $a$ et $b$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Relation produit | $e^{a+b} = e^a \times e^b$ |
| Relation inverse | $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ |
| Relation quotient | $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ |
| Relation puissance | $(e^a)^n = e^{na}$ |
Lien avec les complexes
La notation $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ provient du fait que la fonction $f(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta$ vérifie $f(\theta)f(\theta') = f(\theta+\theta')$, la même équation fonctionnelle que l'exponentielle réelle.
Identité d'Euler : $e^{i\pi} = -1$.