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Équations Différentielles y' = ay + b
Fonction Exponentielle et Équations Différentielles
Équations Différentielles du Type $y' = ay + b$
Solution générale
$$f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$$
Tableau récapitulatif
| Équation | Solution générale | Constante $C$ |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | $Ce^{ax}$ | $C = f(x_0)/e^{ax_0}$ |
| $y' = ay + b$ | $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ | $C = \left(f(x_0) + \frac{b}{a}\right)/e^{ax_0}$ |
Solution particulière constante
On pose $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$0 (donc $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$1) :
$$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$
Exemple : $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$2 avec $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$3
- $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$4, $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$5 → solution générale : $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$6
- $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$7 → $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$8
- Solution : $$0 = ak + b \implies k = -\frac{b}{a}$$9