Applications de la Fonction Exponentielle

La Loi Exponentielle (Probabilités)

La loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ modélise des durées de vie sans vieillissement.

• Densité : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$
• Répartition : $P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$
• Espérance : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
• Absence de mémoire : $P_{X \ge t}(X \ge t+h) = P(X \ge h)$

Exercice type : Équation exponentielle

Résoudre $e^{2x+1} = e^3$.

Par stricte croissance : $e^a = e^b \iff a = b$

$$2x + 1 = 3 \implies x = 1$$

Exercice type : Étude de convexité

Pour $g(x) = xe^{-x^2}$ :
- $\lambda > 0$0
- $\lambda > 0$1 s'annule aux points d'inflexion