Méthodes et Exercices Types

Méthodes et Exercices

Méthodologie générale

1. Vérifier que $\sum \alpha_i \neq 0$
2. Réduire les expressions vectorielles avec la formule de réduction
3. Associer par barycentres partiels si nécessaire
4. Calculer les coordonnées ou l'affixe pour confirmer

Exercice 1 : Calcul de coordonnées

Énoncé : $A(1, 2)$, $B(-1, 4)$, $C(0, -2)$. Calculer $G = \text{bar}\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$.

Correction :

• $\sum \alpha_i = 2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ ✓
• $x_G = \dfrac{2(1) + 1(-1) + 1(0)}{4} = \dfrac{1}{4}$
• $y_G = \dfrac{2(2) + 1(4) + 1(-2)}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

$$G\left(\frac{1}{4} \,;\, \frac{3}{2}\right)$$

Exercice 2 : Construction par associativité

Énoncé : Construire $G = \text{bar}\{(A, 3), (B, 1), (C, 2)\}$.

Méthode :

1. $G_1 = \text{bar}\{(A, 3), (B, 1)\}$ : $\vec{AG_1} = \frac{1}{4}\vec{AB}$
2. $G = \text{bar}\{(G_1, 4), (C, 2)\}$ : $\vec{G_1 G} = \frac{2}{6}\vec{G_1 C} = \frac{1}{3}\vec{G_1 C}$

Exercice 3 : Lieu géométrique

Énoncé : Trouver le lieu des points $M$ tels que $\|2\vec{MA} + \vec{MB}\| = 3$.

Correction : Soit $G$ le barycentre de $\{(A, 2), (B, 1)\}$.

$2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$, donc $\|3\vec{MG}\| = 3$, soit $MG = 1$.

Le lieu est le cercle de centre $G$ et de rayon $1$.