Applications Géométriques
Le Barycentre dans le Plan et l'Espace
Applications Géométriques
Points remarquables d'un triangle
| Point | Système barycentrique |
|---|---|
| Milieu de $[AB]$ | $\text{bar}\{(A, 1), (B, 1)\}$ |
| Centre de gravité | $\text{bar}\{(A, 1), (B, 1), (C, 1)\}$ |
| Centre du cercle inscrit | $\text{bar}\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$ où $a, b, c$ sont les longueurs des côtés opposés |
Lieux géométriques
Le barycentre permet de caractériser des ensembles de points vérifiant une condition vectorielle.
Exemple : Trouver le lieu des points $M$ tels que $2\|\vec{MA}\|^2 + \|\vec{MB}\|^2 = k$.
On utilise la formule de réduction : $2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$ où $G = \text{bar}\{(A, 2), (B, 1)\}$.
Puis avec le développement des normes au carré, on obtient une équation de cercle.
Position du barycentre de deux points
Le barycentre $G$ de $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ est situé sur le segment $[AB]$ si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, et à l'extérieur sinon.
$$\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\vec{AB}$$
- Si $\alpha$ et $\beta > 0$ : $G$ est entre $A$ et $B$
- Si $\alpha$ et $\beta$ de signes opposés : $G$ est à l'extérieur de $[AB]$
Barycentre dans l'espace
Les définitions et propriétés sont identiques dans $\mathbb{R}^3$ :
$$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$