Affixe du Barycentre

Barycentre et Nombres Complexes

Formule de l'affixe

Pour un système $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ dans le plan complexe, l'affixe du barycentre $G$ est :

$$z_G = \frac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{\alpha + \beta + \gamma}$$

Cas général à $n$ points

$$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$

Cas particuliers

Milieu de $[AB]$ (coefficients égaux) :

$$z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$

Centre de gravité du triangle $ABC$ :

$$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$$

Exemple

Soient $A(2+i)$, $B(-1+3i)$, $C(i)$ avec les coefficients $(2, 1, 1)$ :

$$z_G = \frac{2(2+i) + 1(-1+3i) + 1(i)}{2+1+1} = \frac{4+2i-1+3i+i}{4} = \frac{3+6i}{4}$$

Lien avec les coordonnées

Si $z_A = x_A + iy_A$, alors $z_G = x_G + iy_G$ où $x_G$ et $y_G$ sont les coordonnées du barycentre.