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Variations et Extremums
Dérivabilité et Convexité
Étude des Variations et Extremums
Monotonie
Soit $f$ dérivable sur $I$ :
- $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$ ⟹ $f$ est croissante sur $I$.
- $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in I$ ⟹ $f$ est décroissante sur $I$.
Extremum local
$f$ admet un extremum local en $x_0$ si $f'(x_0) = 0$ et $f'$ change de signe en $x_0$.
Exemple : $f(x) = xe^{-x^2}$
$$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$$
L'exponentielle est strictement positive, donc $f'(x)$ est du signe de $1 - 2x^2$.
Racines : $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f$ | $\searrow$ | min | $\nearrow$ | max | $\searrow$ |