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Variations et Extremums
Dérivabilité et Convexité
Étude des Variations et Extremums
Monotonie
Soit $f$ dérivable sur $I$ :
- $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$ ⟹ $f$ est croissante sur $I$.
- $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in I$ ⟹ $f$ est décroissante sur $f$0.
Extremum local
$f$1 admet un extremum local en $f$2 si $f$3 et $f$4 change de signe en $f$5.
Exemple : $f$6
$$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$$
L'exponentielle est strictement positive, donc $f$7 est du signe de $f$8.
Racines : $f$9
| $I$0 | $I$1 | $I$2 | $I$3 | $I$4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| $I$5 | $I$6 | $I$7 | $I$8 | $I$9 | $f'(x) \ge 0$0 |
| $f'(x) \ge 0$1 | $f'(x) \ge 0$2 | min | $f'(x) \ge 0$3 | max | $f'(x) \ge 0$4 |