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Opérations et Fonctions Composées
Dérivabilité et Convexité
Opérations et Dérivation de Fonctions Composées
Théorème de dérivation d'une composée
Soit $u$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$ avec $u(I) \subset J$. Alors $g \circ u$ est dérivable et :
$$(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$$
Formules de composition usuelles
Pour $u$ dérivable sur $I$ :
| Composée | Dérivée |
|---|---|
| $u^n$ ($n \in \mathbb{Z}$) | $n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (si $u > 0$) |
| $\cos(ax+b)$ | $-a\sin(ax+b)$ |
| $\sin(ax+b)$ | $a\cos(ax+b)$ |
Rappel des opérations
- $(u + v)' = u' + v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (si $v \neq 0$)