Mathématiques
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Fondements de la Dérivabilité
Dérivabilité et Convexité
Fondements de la Dérivabilité
Nombre dérivé
Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Si cette limite existe pour tout $x \in I$, $f$ est dérivable sur $I$ et on définit la fonction dérivée $f' : x \mapsto f'(x)$.
Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0; +\infty[$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |