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Étude de la Convexité
Dérivabilité et Convexité
Étude de la Convexité
Définitions géométriques
- Par les cordes : $f$ est convexe si le segment reliant deux points de la courbe est au-dessus de la courbe. Concave si en dessous.
- Par les tangentes : $f$ est convexe si la courbe est au-dessus de ses tangentes. Concave si en dessous.
Propriété fondamentale (dérivée seconde)
Pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ :
- $f$ convexe sur $I$ $\iff$ $f'$ croissante sur $I$ $\iff$ $f''(x) \ge 0$
- $f$ concave sur $I$ $\iff$ $f'$ décroissante sur $I$ $\iff$ $f''(x) \le 0$
Convexité des fonctions usuelles
| Fonction | Convexité |
|---|---|
| $x^2$ | Convexe sur $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | Concave sur $]-\infty; 0]$, convexe sur $[0; +\infty[$ |
| $1/x$ | Concave sur $]-\infty; 0[$, convexe sur $]0; +\infty[$ |
| $\sqrt{x}$ | Concave sur $[0; +\infty[$ |