Étude de la Convexité

Définitions géométriques

• Par les cordes : $f$ est convexe si le segment reliant deux points de la courbe est au-dessus de la courbe. Concave si en dessous.
• Par les tangentes : $f$ est convexe si la courbe est au-dessus de ses tangentes. Concave si en dessous.

Propriété fondamentale (dérivée seconde)

Pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ :

• $f$ convexe sur $I$ $\iff$ $f'$ croissante sur $I$ $\iff$ $f$0
• $f$1 concave sur $f$2 $f$3 $f$4 décroissante sur $f$5 $f$6 $f$7

Convexité des fonctions usuelles