Dérivées Successives

Définition

Si $f$ est dérivable et que $f'$ est elle-même dérivable, on dit que $f$ est deux fois dérivable.

La dérivée seconde est : $f'' = (f')'$.

Plus généralement, la dérivée $n$-ième est notée $f^{(n)}$.

Exemple : $g(x) = xe^x$

Dérivée première (règle du produit) :
$$g'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$$

Dérivée seconde :
$$g''(x) = e^x(1) + (1+x)e^x = e^x(2+x)$$

Application

La dérivée seconde est l'outil fondamental pour :
- L'étude de la convexité ($f'' \ge 0$ ⟹ convexe)
- La recherche des points d'inflexion ($$g''(x) = e^x(1) + (1+x)e^x = e^x(2+x)$$0 avec changement de signe)