Mathématiques
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Vocabulaire de la Logique et Fondements des Ensembles
Théorie des Ensembles et Dénombrement
Logique et Ensembles
Propositions et négation
- Proposition : énoncé mathématique susceptible d'être soit vrai, soit faux.
- Négation de $P$, notée $\neg P$ ou $\bar{P}$ : fausse quand $P$ est vraie, et vraie quand $P$ est fausse. On a $\neg(\neg P) \equiv P$.
Connecteurs logiques
| Connecteur | Notation | Vrai si… |
|---|---|---|
| Conjonction « et » | $P \wedge Q$ | $P$ et $Q$ vraies simultanément |
| Disjonction « ou » | $P \vee Q$ | Au moins l'une est vraie (ou inclusif) |
Méthodes d'inférence
- Modus Ponens : si $P$ est vraie et $P \Rightarrow Q$ est vraie, alors $Q$ est vraie.
- Modus Tollens : si $P \Rightarrow Q$ est vraie et $Q$ est fausse, alors $P$ est fausse (fondement du raisonnement par l'absurde).
Isomorphisme logique–ensembles
Il existe une correspondance structurelle entre logique et opérations sur les parties d'un univers $\Omega$ :
| Logique | Ensembles |
|---|---|
| Négation $\neg P$ | Complémentaire $\bar{A}$ |
| Conjonction $P \wedge Q$ | Intersection $A \cap B$ |
| Disjonction $P \vee Q$ | Union $A \cup B$ |