Opérations Algébriques sur les Parties d'un Ensemble

Opérations sur $\mathcal{P}(\Omega)$

Définition

Soit $\Omega$ un ensemble de référence. L'ensemble de toutes les parties de $\Omega$ est noté $\mathcal{P}(\Omega)$. Les opérations $\cap$ et $\cup$ lui confèrent une structure algébrique.

Propriétés fondamentales

Pour tous $F, G, H \in \mathcal{P}(\Omega)$ :

• Commutativité : $F \cap G = G \cap F$ et $F \cup G = G \cup F$
• Associativité : $F \cap (G \cap H) = (F \cap G) \cap H$ et $F \cup (G \cup H) = (F \cup G) \cup H$
• Distributivité :
• $F \cap (G \cup H) = (F \cap G) \cup (F \cap H)$
• $F \cup (G \cap H) = (F \cup G) \cap (F \cup H)$

Éléments neutres

• $\Omega$ est neutre pour l'intersection : $F \cap \Omega = F$
• $\emptyset$ est neutre pour l'union : $F \cup \emptyset = F$

Lois de Morgan

$$\overline{F \cup G} = \bar{F} \cap \bar{G}$$

$$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$

Justification logique :
- $\neg(P \vee Q) \equiv \neg P \wedge \neg Q$
- $\neg(P \wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q$

Application au dénombrement

Le passage au complémentaire permet de dénombrer par soustraction :

$$|A| = |\Omega| - |\bar{A}|$$

C'est la méthode de l'événement contraire.