Méthodes de Tirages : p-listes, Arrangements, Combinaisons

Les Trois Modèles de Tirage

Tirages successifs avec remise : $p$-listes

Un tirage successif avec remise de $p$ éléments parmi $n$ est un élément du produit cartésien $\Omega^p$ :

• L'ordre est pris en compte
• La répétition est autorisée

$$\text{Nombre de } p\text{-listes} = n^p$$

Exemple : codes à 4 chiffres parmi $\{0, 1, \ldots, 9\}$ → $10^4 = 10\,000$ codes.

Tirages successifs sans remise : Arrangements

Un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est une séquence ordonnée sans répétition :

• L'ordre est pris en compte
• La répétition est exclue

$$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$

Exemple : podium de 3 coureurs parmi 10 → $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Tirages simultanés : Combinaisons

Un tirage simultané de $p$ éléments parmi $n$ revient à choisir une partie de cardinal $p$ :

• L'ordre n'intervient pas
• La répétition est impossible

$$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} = \frac{A_n^p}{p!}$$

Exemple : choisir 3 délégués parmi 10 → $\binom{10}{3} = \frac{720}{6} = 120$.

Lien entre les modèles

$$\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!}$$

On « divise » les arrangements par $p!$ car l'ordre n'importe plus.