Vecteurs — définition, égalité, opérations

Introduction

En géométrie, un vecteur est un objet mathématique qui modélise un déplacement (ou une translation). Contrairement à un simple nombre (qui mesure une grandeur), un vecteur possède trois caractéristiques : une direction, un sens et une norme (longueur).

Les vecteurs sont un outil fondamental pour la géométrie analytique et la physique.

---

Définition d'un vecteur

Translation

Une translation de vecteur $\vec{u}$ est une transformation qui déplace chaque point $M$ du plan en un point $M'$ tel que $MM'$ a une direction, un sens et une longueur fixés.

Vecteur associé à un bipoint

Étant donnés deux points $A$ et $B$, le vecteur $\vec{AB}$ est caractérisé par :

• Direction : celle de la droite $(AB)$.
• Sens : de $A$ vers $B$.
• Norme : la distance $AB$, notée $\|\vec{AB}\|$ ou $|\vec{AB}|$.

On représente un vecteur par une flèche allant de son origine à son extrémité.

Vecteur nul

Le vecteur nul $\vec{0}$ est le vecteur $\vec{AA}$ (pour tout point $A$). Il a une norme nulle et n'a pas de direction définie.

$$\|\vec{0}\| = 0 \qquad \text{et} \qquad \vec{AA} = \vec{BB} = \vec{0}$$

---

Égalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme :

$$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$

⚠️ L'ordre des lettres est important : $ABDC$ (et non $ABCD$) !

Représentant d'un vecteur

Un vecteur n'est pas attaché à un point : on peut le représenter n'importe où dans le plan. On dit que $\vec{AB}$, $\vec{CD}$, etc. sont des représentants du même vecteur $\vec{u}$ s'ils sont égaux.

Pour tout point $M$ du plan et tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$.

---

Vecteur opposé

Le vecteur opposé de $\vec{AB}$ est le vecteur $\vec{BA}$ :

$$\vec{BA} = -\vec{AB}$$

Il a la même direction et la même norme que $\vec{AB}$, mais un sens contraire.

---

Addition de deux vecteurs

Relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$, $C$ :

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$

C'est la relation de Chasles : on « enchaîne » les déplacements.

Cas particulier : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ayant la même origine $A$ :

1. On trace $\vec{AB} = \vec{u}$ et $\vec{AC} = \vec{v}$.
2. On complète le parallélogramme $ABDC$.
3. Le vecteur somme est $\vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$.

Propriétés de l'addition

L'addition des vecteurs est :

• Commutative : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• Associative : $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
• Élément neutre : $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
• Opposé : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$

Soustraction

$$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$

---

Multiplication par un scalaire

Définition

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel (un scalaire). Le vecteur $k\vec{u}$ a :

• La même direction que $\vec{u}$.
• La même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$.
• Une norme égale à $|k| \times \|\vec{u}\|$.

Cas particuliers :

Scalaire	Résultat
$k = 1$	$1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$
$k = 0$	$0 \cdot \vec{u} = \vec{0}$
$k = -1$	$(-1) \cdot \vec{u} = -\vec{u}$
$k = 2$	$2\vec{u}$ : même direction, même sens, norme doublée
$k = -\frac{1}{2}$	Sens contraire, norme divisée par 2

Propriétés

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et tous réels $k$, $k'$ :

• $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ (distributivité sur les vecteurs)
• $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$ (distributivité sur les scalaires)
• $(kk')\vec{u} = k(k'\vec{u})$ (associativité)

---

Milieu d'un segment

Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie :

$$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$

---

Colinéarité

Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$).

Géométriquement, deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ou l'un d'eux est nul).

Applications de la colinéarité

• Trois points alignés : $A$, $B$, $C$ sont alignés ⟺ $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
• Droites parallèles : $(AB) \parallel (CD)$ ⟺ $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

---

Exemples d'application

Exemple 1 : démontrer un parallélisme

Soit $A(1;3)$, $B(4;7)$, $C(2;1)$, $D(5;5)$.

$\vec{AB} = (3;4)$ et $\vec{CD} = (3;4)$.

$\vec{AB} = \vec{CD}$ donc $ABDC$ est un parallélogramme, et en particulier $(AB) \parallel (CD)$.

Exemple 2 : trouver le milieu

Soit $A(2;6)$ et $B(8;-2)$. Le milieu $I$ vérifie $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

$\vec{AB} = (6;-8)$ donc $\vec{AI} = (3;-4)$, d'où $I(2+3; 6-4) = I(5;2)$.

---

À retenir

• Un vecteur $\vec{AB}$ a une direction, un sens et une norme.
• $\vec{AB} = \vec{CD}$ ⟺ $ABDC$ est un parallélogramme.
• Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, avec une norme $|k| \|\vec{u}\|$.
• Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont même direction : on l'utilise pour prouver l'alignement ou le parallélisme.