Vecteurs — définition, égalité, opérations

Introduction

En géométrie, un vecteur est un objet mathématique qui modélise un déplacement (ou une translation). Contrairement à un simple nombre (qui mesure une grandeur), un vecteur possède trois caractéristiques : une direction, un sens et une norme (longueur).

Les vecteurs sont un outil fondamental pour la géométrie analytique et la physique.

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Définition d'un vecteur

Translation

Une translation de vecteur $\vec{u}$ est une transformation qui déplace chaque point $M$ du plan en un point $M'$ tel que $MM'$ a une direction, un sens et une longueur fixés.

Vecteur associé à un bipoint

Étant donnés deux points $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$0 et $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$1, le vecteur $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$2 est caractérisé par :

• Direction : celle de la droite $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$3.
• Sens : de $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$4 vers $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$5.
• Norme : la distance $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$6, notée $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$7 ou $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$8.

On représente un vecteur par une flèche allant de son origine à son extrémité.

Vecteur nul

Le vecteur nul $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$9 est le vecteur $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$0 (pour tout point $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$1). Il a une norme nulle et n'a pas de direction définie.

$$\|\vec{0}\| = 0 \qquad \text{et} \qquad \vec{AA} = \vec{BB} = \vec{0}$$

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Égalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$2 et $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$3 sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme :

$$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$

⚠️ L'ordre des lettres est important : $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$4 (et non $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$5) !

Représentant d'un vecteur

Un vecteur n'est pas attaché à un point : on peut le représenter n'importe où dans le plan. On dit que $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$6, $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$7, etc. sont des représentants du même vecteur $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$8 s'ils sont égaux.

Pour tout point $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$9 du plan et tout vecteur $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$0, il existe un unique point $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$1 tel que $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$2.

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Vecteur opposé

Le vecteur opposé de $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$3 est le vecteur $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$4 :

$$\vec{BA} = -\vec{AB}$$

Il a la même direction et la même norme que $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$5, mais un sens contraire.

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Addition de deux vecteurs

Relation de Chasles

Pour tous points $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$6, $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$7, $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$8 :

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$

C'est la relation de Chasles : on « enchaîne » les déplacements.

Cas particulier : $$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$9.

Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$0 et $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$1 ayant la même origine $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$2 :

1. On trace $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$3 et $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$4.
2. On complète le parallélogramme $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$5.
3. Le vecteur somme est $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$6.

Propriétés de l'addition

L'addition des vecteurs est :

• Commutative : $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$7
• Associative : $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$8
• Élément neutre : $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$9
• Opposé : $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$0

Soustraction

$$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$$

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Multiplication par un scalaire

Définition

Soit $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$1 un vecteur non nul et $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$2 un nombre réel (un scalaire). Le vecteur $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$3 a :

• La même direction que $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$4.
• La même sens si $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$5, le sens contraire si $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$6.
• Une norme égale à $$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$7.

Cas particuliers :

Scalaire	Résultat
$$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$8	$$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$9
$\vec{u}$0	$\vec{u}$1
$\vec{u}$2	$\vec{u}$3
$\vec{u}$4	$\vec{u}$5 : même direction, même sens, norme doublée
$\vec{u}$6	Sens contraire, norme divisée par 2

Propriétés

Pour tous vecteurs $\vec{u}$7, $\vec{u}$8 et tous réels $\vec{u}$9, $M$0 :

• $M$1 (distributivité sur les vecteurs)
• $M$2 (distributivité sur les scalaires)
• $M$3 (associativité)

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Milieu d'un segment

Le milieu $M$4 de $M$5 vérifie :

$$\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$

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Colinéarité

Définition

Deux vecteurs $M$6 et $M$7 sont colinéaires s'il existe un réel $M$8 tel que $M$9 (ou $M'$0).

Géométriquement, deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ou l'un d'eux est nul).

Applications de la colinéarité

• Trois points alignés : $M'$1, $M'$2, $M'$3 sont alignés ⟺ $M'$4 et $M'$5 sont colinéaires.
• Droites parallèles : $M'$6 ⟺ $M'$7 et $M'$8 sont colinéaires.

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Exemples d'application

Exemple 1 : démontrer un parallélisme

Soit $M'$9, $MM'$0, $MM'$1, $MM'$2.

$MM'$3 et $MM'$4.

$MM'$5 donc $MM'$6 est un parallélogramme, et en particulier $MM'$7.

Exemple 2 : trouver le milieu

Soit $MM'$8 et $MM'$9. Le milieu $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$00 vérifie $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$01.

$$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$02 donc $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$03, d'où $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$04.

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À retenir

• Un vecteur $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$05 a une direction, un sens et une norme.
• $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$06 ⟺ $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$07 est un parallélogramme.
• Relation de Chasles : $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$08.
• $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$09 a la même direction que $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$10, avec une norme $$\vec{AB} = \vec{CD} \Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)}$$11.
• Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont même direction : on l'utilise pour prouver l'alignement ou le parallélisme.