Coordonnées et applications analytiques
Vecteurs
Coordonnées et applications analytiques
Introduction
En associant un repère au plan, on peut traduire les objets géométriques (points, vecteurs, droites) en coordonnées numériques. Cette traduction permet de résoudre des problèmes de géométrie par le calcul : c'est la géométrie analytique.
Le repère du plan
Définition
Un repère du plan est défini par un point $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$4 (l'origine) et deux vecteurs $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$5 et $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$6 non colinéaires (la base).
On le note $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$7.
- Repère orthogonal : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$8.
- Repère orthonormé (orthonormal) : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$9 et $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$0.
Sauf mention contraire, on travaille dans un repère orthonormé.
Coordonnées d'un point
Tout point $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$1 du plan s'écrit de façon unique :
$$\vec{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}$$
Le couple $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$2 est constitué des coordonnées de $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$3 : $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$4 est l'abscisse, $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$5 l'ordonnée.
Coordonnées d'un vecteur
Définition
Si $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$6 et $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$7, alors le vecteur $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$8 a pour coordonnées :
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$
Opérations en coordonnées
Soient $$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$9 et $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$0, et $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$1 :
| Opération | Résultat |
|---|---|
| $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$2 | $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$3 |
| $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$4 | $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$5 |
| $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$6 | $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$7 |
Égalité
$$\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow x = x' \text{ et } y = y'$$
Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$8 et $$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$9 est :
$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$
C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore.
Norme d'un vecteur
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$
Exemple
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$0 et $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$1 :
$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
Coordonnées du milieu
Le milieu $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$2 du segment $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$3 a pour coordonnées :
$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$
Exemple
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$4, $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$5 : $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$6.
Colinéarité en coordonnées
Déterminant
Soyens $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$7 et $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$8. Le déterminant de $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{pour } \vec{u}(x; y)$$9 et $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$0 est :
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$
Critère de colinéarité
$$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$
Exemple
$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$1 et $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$2 :
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$
Les vecteurs sont colinéaires. En effet, $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$3.
Application : alignement de trois points
Pour montrer que $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$4, $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$5, $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$6 sont alignés, on vérifie :
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$0
Exemple
$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$7, $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$8, $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$9 :
$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$0, $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$1.
$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$2
Les points $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$3, $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$4, $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$5 sont alignés. ✓
Application : démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$6 est un parallélogramme ⟺ $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$7.
Exemple
$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$8, $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$9, $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$0, $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$1 :
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$2 et $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$3.
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$4 ✓ → $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$5 est un parallélogramme.
Application : trouver un point à partir d'une relation vectorielle
Exemple
On cherche le point $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$6 tel que $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$7 soit un parallélogramme, avec $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$8, $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$$9, $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$0.
On doit avoir $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$1 :
$$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$2, et $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$3.
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$1
Donc $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$4.
Décomposition d'un vecteur dans une base
Toute paire de vecteurs non colinéaires $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$5 forme une base du plan. Tout vecteur $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$6 s'écrit alors :
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$2
avec un unique couple $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$7.
Pour trouver $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$8 et $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0}$$9, on résout un système de deux équations à deux inconnues en identifiant les coordonnées.
Exemple
Décomposer $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$0 dans la base $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$1.
On cherche $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$2 et $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$3 tels que $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$4 :
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$3
De la 2ᵉ équation : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$5. En substituant : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$6.
Donc $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$7.
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$8. Vérification : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$$9 ✓
À retenir
- Dans un repère $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$00, tout vecteur $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$01 a des coordonnées $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$02.
- Distance : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$03 (repère orthonormé).
- Milieu : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$04.
- Colinéarité : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$05 et $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$06 colinéaires ⟺ $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$07.
- Pour prouver un alignement, on calcule $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$08 ; pour un parallélogramme, on vérifie $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$09.