Trigonométrie dans le triangle rectangle

Introduction

La trigonométrie (du grec trigonon = triangle et metron = mesure) étudie les relations entre les angles et les côtés d'un triangle. En classe de Seconde, on commence par le triangle rectangle, qui est la base de toute la trigonométrie.

---

1. Rappel : le théorème de Pythagore

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ :

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

où $AB$ est l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).

Exemple : Si $AC = 3$ et $BC = 4$, alors $AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

---

2. Cosinus, sinus et tangente

Définitions

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, pour l'angle $\widehat{A}$ :

$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$

$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$

$$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposé / Hypoténuse
- Cos = Adjacent / Hypoténuse
- Tan = Opposé / Adjacent

Domaine de valeurs

Pour un angle aigu $\widehat{A}$ (entre $0°$ et $90°$) :

$$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$

---

3. L'identité fondamentale

Pour tout angle $\alpha$ :

$$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$

Démonstration (dans le triangle rectangle en $C$) :

$$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$

par le théorème de Pythagore.

---

4. Valeurs remarquables

Angle $\alpha$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\cos(\alpha)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin(\alpha)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan(\alpha)$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	—

Il est indispensable de connaître ces valeurs par cœur.

Vérification : $\cos^2(30°) + \sin^2(30°) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ ✓

---

5. Calculer un côté

Méthode : on identifie l'angle connu, le côté recherché et le côté connu, puis on choisit la bonne formule (cos, sin ou tan).

Exemple 1 : Triangle rectangle avec $\widehat{A} = 35°$ et $AB = 10$ cm. Calculer $AC$.

$$\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19 \text{ cm}$$

Exemple 2 : Même triangle. Calculer $BC$.

$$\sin(35°) = \frac{BC}{AB} \implies BC = 10 \times \sin(35°) \approx 5{,}74 \text{ cm}$$

---

6. Calculer un angle

Si on connaît les longueurs des côtés, on utilise les fonctions réciproques :

$$\alpha = \arccos\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$$

$$\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)$$

$$\alpha = \arctan\left(\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$$

Exemple : Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 7 cm et le côté adjacent mesure 10 cm.

$$\alpha = \arctan\left(\frac{7}{10}\right) \approx 34{,}99° \approx 35°$$

Sur la calculatrice, les touches sont notées $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$.

---

7. Applications concrètes

Hauteur d'un bâtiment

Un observateur situé à 50 m d'un bâtiment voit son sommet sous un angle d'élévation de $28°$.

$$\tan(28°) = \frac{h}{50} \implies h = 50 \times \tan(28°) \approx 26{,}6 \text{ m}$$

Pente d'une route

Une route s'élève de 8 m sur une distance horizontale de 100 m.

$$\tan(\alpha) = \frac{8}{100} = 0{,}08 \implies \alpha = \arctan(0{,}08) \approx 4{,}6°$$

On dit que la pente est de 8 %.

---

À retenir

• $\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\sin = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\tan = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
• Identité fondamentale : $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
• Connaître les valeurs remarquables pour $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$.
• Pour trouver un côté : identifier l'angle et les côtés, appliquer cos/sin/tan.
• Pour trouver un angle : utiliser $\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$.