Trigonométrie dans le triangle rectangle
Trigonométrie
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Introduction
La trigonométrie (du grec trigonon = triangle et metron = mesure) étudie les relations entre les angles et les côtés d'un triangle. En classe de Seconde, on commence par le triangle rectangle, qui est la base de toute la trigonométrie.
1. Rappel : le théorème de Pythagore
Dans un triangle $$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$5 rectangle en $$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$6 :
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
où $$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$7 est l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
Exemple : Si $$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$8 et $$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$9, alors $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$0.
2. Cosinus, sinus et tangente
Définitions
Dans un triangle $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$1 rectangle en $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$2, pour l'angle $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$3 :
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$
$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$
$$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$
Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposé / Hypoténuse
- Cos = Adjacent / Hypoténuse
- Tan = Opposé / Adjacent
Domaine de valeurs
Pour un angle aigu $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$4 (entre $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$5 et $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$6) :
$$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$
3. L'identité fondamentale
Pour tout angle $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$7 :
$$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$
Démonstration (dans le triangle rectangle en $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$8) :
$$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$
par le théorème de Pythagore.
4. Valeurs remarquables
| Angle $$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}$$9 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$0 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$1 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$2 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$3 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$5 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$6 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$7 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$8 | $$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$9 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$0 |
| $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$1 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$2 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$3 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$4 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$5 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$6 |
| $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$7 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$8 | $$0 < \cos(\widehat{A}) < 1 \qquad 0 < \sin(\widehat{A}) < 1 \qquad \tan(\widehat{A}) > 0$$9 | $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$0 | $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$1 | — |
Il est indispensable de connaître ces valeurs par cœur.
Vérification : $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$2 ✓
5. Calculer un côté
Méthode : on identifie l'angle connu, le côté recherché et le côté connu, puis on choisit la bonne formule (cos, sin ou tan).
Exemple 1 : Triangle rectangle avec $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$3 et $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$4 cm. Calculer $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$5.
$$\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19 \text{ cm}$$
Exemple 2 : Même triangle. Calculer $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$6.
$$\sin(35°) = \frac{BC}{AB} \implies BC = 10 \times \sin(35°) \approx 5{,}74 \text{ cm}$$
6. Calculer un angle
Si on connaît les longueurs des côtés, on utilise les fonctions réciproques :
$$\alpha = \arccos\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$$
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$0
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$1
Exemple : Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 7 cm et le côté adjacent mesure 10 cm.
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$2
Sur la calculatrice, les touches sont notées $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$7, $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$8, $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$9.
7. Applications concrètes
Hauteur d'un bâtiment
Un observateur situé à 50 m d'un bâtiment voit son sommet sous un angle d'élévation de $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$0.
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$3
Pente d'une route
Une route s'élève de 8 m sur une distance horizontale de 100 m.
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}$$4
On dit que la pente est de 8 %.
À retenir
- $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$1 ; $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$2 ; $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$3.
- Identité fondamentale : $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$4.
- Connaître les valeurs remarquables pour $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$5, $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$6, $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$7, $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$8, $$\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$$9.
- Pour trouver un côté : identifier l'angle et les côtés, appliquer cos/sin/tan.
- Pour trouver un angle : utiliser $$\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19 \text{ cm}$$0, $$\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19 \text{ cm}$$1 ou $$\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19 \text{ cm}$$2.