Le cercle trigonométrique
Trigonométrie
Le cercle trigonométrique
Introduction
Le cercle trigonométrique permet d'étendre les notions de cosinus et sinus à tous les angles, et pas seulement aux angles aigus d'un triangle rectangle. C'est un outil fondamental pour la suite du lycée.
1. Définition du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle :
- de centre $$\pi \text{ rad} = 180°$$2 (l'origine du repère),
- de rayon $$\pi \text{ rad} = 180°$$3,
- muni d'un sens positif (le sens inverse des aiguilles d'une montre, dit sens trigonométrique ou sens direct).
Dans le repère orthonormé $$\pi \text{ rad} = 180°$$4, un point $$\pi \text{ rad} = 180°$$5 du cercle est repéré par un angle $$\pi \text{ rad} = 180°$$6 mesuré depuis le point $$\pi \text{ rad} = 180°$$7.
2. Mesure en radians
Définition
Le radian est l'unité de mesure d'angle définie par :
$$1 \text{ rad} = \text{l'angle qui intercepte un arc de longueur } 1 \text{ sur un cercle de rayon } 1$$
Conversion degrés ↔ radians
$$\pi \text{ rad} = 180°$$
| Degrés | $$\pi \text{ rad} = 180°$$8 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$9 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$0 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$1 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$2 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$3 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$4 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$5 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$7 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$8 | $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$9 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$0 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$1 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$2 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$3 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$4 | $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$5 |
Formules de conversion :
$$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$
3. Cosinus et sinus sur le cercle
Définition
Soit $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$6 le point du cercle trigonométrique associé à l'angle $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$7. Les coordonnées de $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$8 sont :
$$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$
Autrement dit :
- $$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$9 est l'abscisse du point $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$0,
- $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$1 est l'ordonnée du point $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$2.
Conséquences immédiates
- $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$3 et $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$4 (le point est sur un cercle de rayon 1).
- $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$5 (équation du cercle $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$6).
4. Valeurs remarquables sur le cercle
| $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$7 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$8 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$9 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$0 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$1 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$2 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$3 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$4 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$6 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$7 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$8 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$9 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$0 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$1 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$2 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$3 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$4 |
| $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$5 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$6 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$7 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$8 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$9 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$0 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$1 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$2 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$3 |
Points remarquables sur le cercle :
| Point | Coordonnées | Angle |
|---|---|---|
| $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$4 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$5 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$6 |
| $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$7 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$8 | $$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$9 |
| $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$0 | $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$1 | $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$2 |
| $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$3 | $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$4 | $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$5 |
5. Propriétés de symétrie
Les symétries du cercle donnent des relations importantes entre cos et sin :
Angles opposés (symétrie par rapport à l'axe des abscisses)
$$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$
Le cosinus est une fonction paire, le sinus une fonction impaire.
Angles supplémentaires (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$
Angles complémentaires
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$
Décalage de $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$6 (symétrie centrale par rapport à $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$7)
$$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \qquad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$
6. Résoudre des équations trigonométriques
Équation $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$8 (avec $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$9)
Les solutions sont :
$$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$
où $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$0 est un angle tel que $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$1.
Exemple : $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$2
$$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$3, donc $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$4 ou $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$5.
Équation $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$6 (avec $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$7)
Les solutions sont :
$$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$
où $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$8 est un angle tel que $$\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$9.
Exemple : $$\pi \text{ rad} = 180°$$00
$$\pi \text{ rad} = 180°$$01, donc $$\pi \text{ rad} = 180°$$02 ou $$\pi \text{ rad} = 180°$$03.
7. Signe du cosinus et du sinus selon le quadrant
Le plan est divisé en quatre quadrants :
| Quadrant | Angle $$\pi \text{ rad} = 180°$$04 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$05 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$06 |
|---|---|---|---|
| I | $$\pi \text{ rad} = 180°$$07 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$08 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$09 |
| II | $$\pi \text{ rad} = 180°$$10 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$11 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$12 |
| III | $$\pi \text{ rad} = 180°$$13 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$14 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$15 |
| IV | $$\pi \text{ rad} = 180°$$16 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$17 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$18 |
Retenir : « Tout le monde Sait Très bien Chanter » → Quadrants I (Tout +), II (Sin +), III (Tan +), IV (Cos +).
8. Longueur d'un arc de cercle
Sur un cercle de rayon $$\pi \text{ rad} = 180°$$19, la longueur d'un arc intercepté par un angle $$\pi \text{ rad} = 180°$$20 (en radians) est :
$$\pi \text{ rad} = 180°$$0
Exemple : Sur un cercle de rayon $$\pi \text{ rad} = 180°$$21 cm, un angle de $$\pi \text{ rad} = 180°$$22 rad intercepte un arc de longueur :
$$\pi \text{ rad} = 180°$$1
À retenir
- Le cercle trigonométrique a pour centre $$\pi \text{ rad} = 180°$$23, rayon $$\pi \text{ rad} = 180°$$24, orienté dans le sens direct.
- $$\pi \text{ rad} = 180°$$25 : l'abscisse est le cosinus, l'ordonnée est le sinus.
- Radian : $$\pi \text{ rad} = 180°$$26 rad $$\pi \text{ rad} = 180°$$27.
- Identité : $$\pi \text{ rad} = 180°$$28.
- Parité : $$\pi \text{ rad} = 180°$$29 ; $$\pi \text{ rad} = 180°$$30.
- Supplémentaires : $$\pi \text{ rad} = 180°$$31 ; $$\pi \text{ rad} = 180°$$32.
- Connaître les valeurs remarquables et le signe par quadrant.