Probabilités — événements et calcul

Introduction

Les probabilités constituent le cadre mathématique permettant de modéliser le hasard. On les utilise pour prédire la fréquence d'un événement lorsqu'on répète une expérience un grand nombre de fois.

Idée fondamentale : si on lance un dé équilibré un très grand nombre de fois, chaque face apparaît environ $\frac{1}{6}$ du temps. Cette proportion est la probabilité d'obtenir cette face.

---

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Exemples : lancer un dé, tirer une carte, choisir un élève au hasard.

Univers

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles (appelés issues ou éventualités).

• Lancer d'un dé : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• Lancer d'une pièce : $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$

Événement

Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l'univers $\Omega$.

Type	Notation	Définition
Événement élémentaire	$$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$0	Contient une seule issue
Événement certain	$$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$1	Se réalise toujours
Événement impossible	$$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$2	Ne se réalise jamais
Événement contraire	$$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$3	« $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$4 ne se réalise pas »

Exemples avec un dé

• $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$5 = « obtenir un nombre pair » = $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$6
• $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$7 = « obtenir un nombre impair » = $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$8
• $$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$9 = « obtenir un nombre supérieur à 4 » = $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$0

---

Opérations sur les événements

Intersection $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$1

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$2 (lire « $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$3 inter $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$4 ») est l'événement « $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$5 et $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$6 se réalisent en même temps ».

Exemple : avec le dé, $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$7 (pair et supérieur à 4).

Réunion $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$8

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$9 (lire « $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$0 union $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$1 ») est l'événement « $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$2 ou $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$3 (ou les deux) se réalise ».

Exemple : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$4 (pair ou supérieur à 4).

Événements incompatibles (disjoints)

Deux événements sont incompatibles si $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$5 : ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Exemple : « obtenir 1 » et « obtenir 6 » sont incompatibles.

---

Définition de la probabilité

Axiomes

Une probabilité $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$6 sur l'univers $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$7 est une fonction qui associe à chaque événement $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$8 un nombre $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$9 vérifiant :

1. $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$0 pour tout événement $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$1.
2. $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$2 (il se passe toujours quelque chose).
3. Si $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$3 et $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$4 sont incompatibles : $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$5.

Conséquences immédiates

• $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$6 (l'événement impossible a une probabilité nulle).
• $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$7 (probabilité de l'événement contraire).

---

Équiprobabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité. Si $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$8 a $$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$9 issues :

$$P(\{\omega\}) = \frac{1}{n} \qquad \text{pour chaque issue } \omega$$

Dans ce cas, pour tout événement $\frac{1}{6}$0 :

$$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$$

Exemples

Dé équilibré : $\frac{1}{6}$1.

$\frac{1}{6}$2 = « obtenir un nombre pair » : $\frac{1}{6}$3.

Tirage d'une carte dans un jeu de 52 : $\frac{1}{6}$4, $\frac{1}{6}$5.

---

Formule de la probabilité de la réunion

Pour deux événements quelconques $\frac{1}{6}$6 et $\frac{1}{6}$7 :

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$

On soustrait $\frac{1}{6}$8 pour ne pas compter deux fois les issues communes.

Cas particulier : si $\frac{1}{6}$9 et $\Omega$0 sont incompatibles ($\Omega$1) :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Exemple

On tire une carte dans un jeu de 52. Soit $\Omega$2 = « obtenir un cœur » (13 cartes) et $\Omega$3 = « obtenir un roi » (4 cartes).

$\Omega$4 = « obtenir le roi de cœur » → 1 carte.

$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

---

Arbres de probabilités

Un arbre de probabilités est un outil graphique pour organiser les issues d'une expérience en plusieurs étapes.

Règles de construction

1. Chaque nœud correspond à une étape ; les branches mènent aux issues possibles.
2. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
3. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
4. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple : deux lancers de pièce

Pièce équilibrée, deux lancers successifs.

• Premier lancer : pile ($\Omega$5) ou face ($\Omega$6).
• Deuxième lancer : idem.

$\Omega$7, chaque issue a la probabilité $\Omega$8.

$\Omega$9.

Ou bien : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$0.

---

Modéliser une situation par les probabilités

Étapes de résolution

1. Identifier l'expérience aléatoire et l'univers $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$1.
2. Définir la loi de probabilité (équiprobabilité ou non).
3. Traduire l'événement cherché en sous-ensemble de $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$2.
4. Calculer la probabilité avec les formules adéquates.

Exemple complet

Un sac contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard.

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$3 : 10 boules, équiprobabilité (tirage au hasard).

• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$4
• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$5
• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$6
• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$7 (événements incompatibles)
• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$8

---

À retenir

• L'univers $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$9 est l'ensemble de toutes les issues ; un événement est un sous-ensemble de $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$0.
• $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$1, $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$2, $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$3.
• En équiprobabilité : $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$4.
• Formule de la réunion : $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$5.
• Un arbre organise les expériences à plusieurs étapes : on multiplie le long des branches et on additionne les chemins favorables.