Vocabulaire et calcul de probabilités

Introduction

Les probabilités permettent de modéliser le hasard et de quantifier les chances qu'un événement se réalise. Elles interviennent dans de nombreux domaines : météorologie, médecine, jeux, assurances, etc.

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1. Expérience aléatoire et univers

Définitions

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît l'ensemble des résultats possibles.
• L'univers $\Omega$ (oméga) est l'ensemble de tous les résultats (ou issues) possibles.

Exemples :

Expérience	Univers $\Omega$
Lancer un dé à 6 faces	$\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$
Lancer une pièce	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$0
Tirer une carte d'un jeu de 32	32 issues possibles

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2. Événements

Définition

Un événement est un sous-ensemble de l'univers $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$1.

Vocabulaire

Terme	Signification
Événement élémentaire	Contient une seule issue (singleton)
Événement certain	Contient toutes les issues ($$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$2)
Événement impossible	Ne contient aucune issue ($$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$3)
Événement contraire de $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$4	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$5 : les issues qui ne sont pas dans $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$6

Exemple (dé à 6 faces) :

• $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$7 = « obtenir un nombre pair » = $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$8
• $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$9 = « obtenir un nombre impair » = $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$0

Opérations sur les événements

Opération	Notation	Signification
Intersection	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$1	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$2 et $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$3 se réalisent
Réunion	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$4	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$5 ou $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$6 (ou les deux) se réalise(nt)
Incompatibilité	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$7	$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$8 et $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$9 ne peuvent pas arriver en même temps

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3. Probabilité d'un événement

Axiomes fondamentaux

Une probabilité $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$0 sur $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$1 vérifie :

1. Pour tout événement $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$2 : $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$3
2. $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$4 (l'événement certain a une probabilité de 1)
3. $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$5 (l'événement impossible a une probabilité de 0)

Probabilité du contraire

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

Très utile lorsqu'il est plus facile de calculer la probabilité que $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$6 ne se produise pas.

Formule de la réunion

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$7 et $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$8 sont incompatibles ($$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$9) :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

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4. Équiprobabilité

Définition

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues de $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$0 ont la même probabilité.

Si $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$1 contient $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$2 issues en équiprobabilité, chaque issue a une probabilité de $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$3.

Formule fondamentale

$$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$

Exemple : On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

$$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

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5. Loi de probabilité

Définition

Une loi de probabilité associe à chaque issue $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$4 de $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$5 une probabilité $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$6 telle que :

$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$

On la présente souvent sous forme de tableau :

Issue $$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$7	$$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$8	$$A = \{3; 6\} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$9	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$0	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$1
Probabilité $$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$2	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$3	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$4	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$5	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$6

Exemple : Un dé truqué a la loi suivante :

Face	1	2	3	4	5	6
$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$7	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$8	$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$9	$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$0	$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$1	$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$2	$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$3

Vérification : $$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$4 ✓

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6. Arbre de probabilités

Pour des expériences à plusieurs étapes, on utilise un arbre pondéré :

• Chaque branche porte une probabilité.
• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches empruntées.
• La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple : On lance une pièce, puis un dé si c'est Pile, ou on tire une carte si c'est Face.

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

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7. Exemples de calculs

Exemple 1 — Tirage de boules

Une urne contient 4 boules rouges, 3 bleues et 2 vertes. On tire une boule au hasard.

• $$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$5
• $$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$6
• $$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$7
• $$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$8

Exemple 2 — Deux lancers de dé

On lance deux fois un dé. Quelle est la probabilité que la somme soit 7 ?

$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$9 contient $\Omega$0 issues. Les couples dont la somme vaut 7 sont :

$\Omega$1 → 6 issues favorables.

$$P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

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À retenir

• L'univers $\Omega$2 est l'ensemble de toutes les issues possibles.
• Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$3 ; son contraire vérifie $\Omega$4.
• Équiprobabilité : $\Omega$5.
• Réunion : $\Omega$6.
• Un arbre pondéré : on multiplie le long des branches, on additionne les chemins.