Ensembles de nombres et représentations
Les nombres
Ensembles de nombres et représentations
Les grands ensembles de nombres
En mathématiques, les nombres sont classés dans des ensembles emboîtés les uns dans les autres :
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
L'ensemble $\mathbb{N}$ — Les entiers naturels
$$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$
Ce sont les nombres entiers positifs ou nuls. On les utilise pour compter.
L'ensemble $\mathbb{Z}$ — Les entiers relatifs
$$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$
$\mathbb{Z}$ contient tous les entiers, positifs et négatifs. On a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
L'ensemble $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$0 — Les nombres rationnels
$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire comme une fraction d'entiers. Tout entier est rationnel (par exemple $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$1).
Propriété : Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique.
Exemples :
- $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$2 (période : 3)
- $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$3 (écriture décimale finie)
- $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$4 (période de longueur 6)
L'ensemble $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$5 — Les nombres réels
$$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$6 contient tous les nombres qui peuvent être placés sur une droite graduée. Il comprend les rationnels et les irrationnels.
Les nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel : il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction et son écriture décimale est infinie et non périodique.
Exemples célèbres :
| Nombre | Valeur approchée |
|---|---|
| $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$7 | $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$8 |
| $$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$9 | $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$0 |
| $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$1 | $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$2 |
Théorème : $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$3 est irrationnel. Cela se démontre par l'absurde (on suppose $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$4 irréductible et on aboutit à une contradiction).
Règle pratique
$$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$5 est rationnel si et seulement si $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$6 est un carré parfait ($$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$7).
La valeur absolue
Définition
La valeur absolue d'un nombre réel $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$8, notée $$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$$9, est définie par :
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
Exemples : $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$0, $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$1, $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$2.
Interprétation géométrique
$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$3 représente la distance entre le point $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$4 et l'origine 0 sur la droite des réels.
Plus généralement, $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$5 est la distance entre les points $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$6 et $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$7 :
$$d(a, b) = |a - b|$$
Exemple : la distance entre $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$8 et $$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^* \right\}$$9 vaut $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$0.
Propriétés
Pour tous réels $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$1 et $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$2 :
- $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$3 et $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$4
- $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$5
- $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$6 (inégalité triangulaire)
Droite graduée et repérage
Chaque nombre réel correspond à un unique point sur une droite graduée (droite des réels).
- L'abscisse d'un point sur cette droite est le nombre réel qui lui est associé.
- La longueur du segment $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$7 où $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$8 a pour abscisse $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$9 et $$d(a, b) = |a - b|$$0 a pour abscisse $$d(a, b) = |a - b|$$1 est $$d(a, b) = |a - b|$$2.
À retenir
- $$d(a, b) = |a - b|$$3 : chaque ensemble « contient » le précédent.
- Un nombre est rationnel si son écriture décimale est finie ou périodique.
- Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique (ex : $$d(a, b) = |a - b|$$4, $$d(a, b) = |a - b|$$5).
- La valeur absolue $$d(a, b) = |a - b|$$6 donne la distance à zéro ; $$d(a, b) = |a - b|$$7 donne la distance entre $$d(a, b) = |a - b|$$8 et $$d(a, b) = |a - b|$$9.