Résoudre une inéquation et représenter l'ensemble solution

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (généralement $x$). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'inégalité est vraie.

À la différence d'une équation qui a souvent un nombre fini de solutions, une inéquation a généralement une infinité de solutions formant un intervalle (ou une réunion d'intervalles).

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Règles de résolution

Les règles sont les mêmes que pour les équations, avec une exception cruciale :

Règle 1 : Ajouter ou soustraire le même nombre

On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité :

$$A < B \iff A + c < B + c$$

Règle 2 : Multiplier ou diviser par un nombre positif

Le sens de l'inégalité est conservé :

$$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$

Règle 3 : Multiplier ou diviser par un nombre négatif

⚠️ Le sens de l'inégalité est INVERSÉ :

$$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$

Exemples : Si $x < 3$, alors $-2x > -6$ (on multiplie par $-2$ et on inverse le sens).

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Résolution pas à pas

Exemple 1 : $3x - 7 \leq 2x + 5$

Étape	Action	Résultat
1	On soustrait $2x$ des deux côtés	$x - 7 \leq 5$
2	On ajoute $7$ des deux côtés	$x \leq 12$

$$S = ]-\infty \,;\, 12]$$

Exemple 2 : $-4x + 3 > 11$

Étape	Action	Résultat
1	On soustrait $3$	$-4x > 8$
2	On divise par $-4$ (on inverse !)	$x < -2$

$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$

Exemple 3 : Double inégalité

Résolvons $-3 < 2x + 1 \leq 7$ :

On isole $x$ en traitant les trois membres simultanément :

$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$
$$-4 < 2x \leq 6$$
$$-2 < x \leq 3$$

$$S = ]-2 \,;\, 3]$$

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Représentation graphique

On représente l'ensemble solution sur une droite des réels :

• Un crochet fermé $[$ ou $]$ signifie que la borne est incluse (inégalité large $\leq$ ou $\geq$).
• Un crochet ouvert $]$ ou $[$ signifie que la borne est exclue (inégalité stricte $<$ ou $>$).
• On hachure ou colore la partie de la droite qui correspond aux solutions.

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Inéquation-produit : tableau de signes

Pour résoudre $(2x - 6)(x + 1) \leq 0$, on étudie le signe de chaque facteur :

Facteur 1 : $2x - 6 = 0 \iff x = 3$ ; positif pour $x > 3$, négatif pour $x < 3$

Facteur 2 : $x + 1 = 0 \iff x = -1$ ; positif pour $x > -1$, négatif pour $x < -1$

Tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$2x-6$	$-$		$-$		$0$		$+$
$x+1$	$-$		$0$		$+$		$+$
$(2x-6)(x+1)$	$+$		$0$		$0$		$+$

Le produit est négatif entre $-1$ et $3$ : $S = [-1 \,;\, 3]$.

Règle des signes : $(-) \times (-) = (+)$ ; $(+) \times (-) = (-)$ ; $(+) \times (+) = (+)$.

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Inéquation-quotient

Pour $\dfrac{A}{B} \leq 0$, on dresse le tableau de signes de $A$ et $B$.

⚠️ Le quotient n'est pas défini quand $B = 0$. La valeur qui annule le dénominateur est toujours exclue de l'ensemble solution.

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À retenir

• On résout une inéquation comme une équation, mais on inverse le sens si on multiplie/divise par un nombre négatif.
• L'ensemble solution est un intervalle (ou une réunion d'intervalles).
• Pour les inéquations-produits ou quotients, on utilise un tableau de signes.
• Le quotient $\frac{A}{B}$ n'est jamais défini pour $B = 0$ : ces valeurs sont toujours exclues.