Résoudre une inéquation et représenter l'ensemble solution

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (généralement $x$). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$0 pour lesquelles l'inégalité est vraie.

À la différence d'une équation qui a souvent un nombre fini de solutions, une inéquation a généralement une infinité de solutions formant un intervalle (ou une réunion d'intervalles).

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Règles de résolution

Les règles sont les mêmes que pour les équations, avec une exception cruciale :

Règle 1 : Ajouter ou soustraire le même nombre

On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité :

$$A < B \iff A + c < B + c$$

Règle 2 : Multiplier ou diviser par un nombre positif

Le sens de l'inégalité est conservé :

$$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$

Règle 3 : Multiplier ou diviser par un nombre négatif

⚠️ Le sens de l'inégalité est INVERSÉ :

$$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$

Exemples : Si $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$1, alors $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$2 (on multiplie par $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$3 et on inverse le sens).

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Résolution pas à pas

Exemple 1 : $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$4

Étape	Action	Résultat
1	On soustrait $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$5 des deux côtés	$$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$6
2	On ajoute $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$7 des deux côtés	$$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$8

$$S = ]-\infty \,;\, 12]$$

Exemple 2 : $$A < B \iff k \cdot A < k \cdot B \quad (k > 0)$$9

Étape	Action	Résultat
1	On soustrait $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$0	$$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$1
2	On divise par $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$2 (on inverse !)	$$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$3

$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$

Exemple 3 : Double inégalité

Résolvons $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$4 :

On isole $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$5 en traitant les trois membres simultanément :

$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$
$$-4 < 2x \leq 6$$
$$-2 < x \leq 3$$

$$S = ]-2 \,;\, 3]$$

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Représentation graphique

On représente l'ensemble solution sur une droite des réels :

• Un crochet fermé $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$6 ou $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$7 signifie que la borne est incluse (inégalité large $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$8 ou $$A < B \iff k \cdot A > k \cdot B \quad (k < 0)$$9).
• Un crochet ouvert $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$0 ou $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$1 signifie que la borne est exclue (inégalité stricte $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$2 ou $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$3).
• On hachure ou colore la partie de la droite qui correspond aux solutions.

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Inéquation-produit : tableau de signes

Pour résoudre $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$4, on étudie le signe de chaque facteur :

Facteur 1 : $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$5 ; positif pour $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$6, négatif pour $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$7

Facteur 2 : $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$8 ; positif pour $$S = ]-\infty \,;\, 12]$$9, négatif pour $$S = ]-\infty \,;\, -2[$$0

Tableau de signes :

$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$1	$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$2		$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$3		$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$4		$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$5
$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$6	$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$7		$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$8		$$S = ]-\infty \,;\, -2[$$9		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$0
$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$1	$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$2		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$3		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$4		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$5
$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$6	$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$7		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$8		$$-3 - 1 < 2x \leq 7 - 1$$9		$$-4 < 2x \leq 6$$0

Le produit est négatif entre $$-4 < 2x \leq 6$$1 et $$-4 < 2x \leq 6$$2 : $$-4 < 2x \leq 6$$3.

Règle des signes : $$-4 < 2x \leq 6$$4 ; $$-4 < 2x \leq 6$$5 ; $$-4 < 2x \leq 6$$6.

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Inéquation-quotient

Pour $$-4 < 2x \leq 6$$7, on dresse le tableau de signes de $$-4 < 2x \leq 6$$8 et $$-4 < 2x \leq 6$$9.

⚠️ Le quotient n'est pas défini quand $$-2 < x \leq 3$$0. La valeur qui annule le dénominateur est toujours exclue de l'ensemble solution.

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À retenir

• On résout une inéquation comme une équation, mais on inverse le sens si on multiplie/divise par un nombre négatif.
• L'ensemble solution est un intervalle (ou une réunion d'intervalles).
• Pour les inéquations-produits ou quotients, on utilise un tableau de signes.
• Le quotient $$-2 < x \leq 3$$1 n'est jamais défini pour $$-2 < x \leq 3$$2 : ces valeurs sont toujours exclues.