Intervalles et encadrements
Inéquations du premier degré
Intervalles et encadrements
Les intervalles de $\mathbb{R}$
Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ « sans trou » : il contient tous les réels compris entre deux bornes.
Notation et types d'intervalles
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$ :
| Notation | Ensemble | Description |
|---|---|---|
| $[a \,;\, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ | Intervalle fermé |
| $]a \,;\, b[$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ | Intervalle ouvert |
| $[a \,;\, b[$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$ | Fermé à gauche, ouvert à droite |
| $]a \,;\, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$ | Ouvert à gauche, fermé à droite |
| $[a \,;\, +\infty[$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$ | Demi-droite fermée |
| $]a \,;\, +\infty[$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ | Demi-droite ouverte |
| $]-\infty \,;\, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}$ | Demi-droite fermée |
| $]-\infty \,;\, b[$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}$ | Demi-droite ouverte |
| $]-\infty \,;\, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | La droite réelle entière |
Remarques :
- $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels ; le crochet est toujours ouvert de leur côté.
- Un crochet fermé $[$ ou $]$ signifie que la borne est incluse.
- Un crochet ouvert $]$ ou $[$ signifie que la borne est exclue.
Intersection et réunion d'intervalles
Intersection : $\cap$
L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux ensembles.
Exemple : $[-3 \,;\, 5] \cap [2 \,;\, 8] = [2 \,;\, 5]$
Si deux intervalles ne se chevauchent pas, leur intersection est vide :
$[1 \,;\, 3] \cap [5 \,;\, 7] = \emptyset$
Réunion : $\cup$
La réunion de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'un ou l'autre (ou aux deux).
Exemple : $]-\infty \,;\, -1] \cup [3 \,;\, +\infty[$ représente tous les réels sauf ceux de $]-1 \,;\, 3[$.
Encadrements
Définition
Un encadrement d'un nombre $x$ est une double inégalité :
$$a \leq x \leq b$$
On dit que $x$ est encadré entre $a$ et $b$ ; l'amplitude (ou précision) de cet encadrement est $b - a$.
Exemple : $3{,}14 \leq \pi \leq 3{,}15$ est un encadrement de $\pi$ d'amplitude $0{,}01$.
Opérations sur les encadrements
Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ :
Addition :
$$a + c \leq x + y \leq b + d$$
Soustraction :
$$a - d \leq x - y \leq b - c$$
⚠️ On « croise » les bornes pour la soustraction.
Multiplication par un scalaire :
Si $k > 0$ : $ka \leq kx \leq kb$
Si $k < 0$ : $kb \leq kx \leq ka$ (on inverse !)
Exemple
Sachant que $2 \leq x \leq 5$ et $-1 \leq y \leq 3$, encadrer $x + y$ et $x - y$ :
$$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$
$$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$
Valeur approchée
Une valeur approchée d'un nombre $x$ est un nombre « proche » de $x$.
- Par défaut (troncature) : on arrondit vers le bas → $3{,}141$ pour $\pi$ au millième.
- Par excès : on arrondit vers le haut → $3{,}142$ pour $\pi$ au millième.
Précision : la valeur approchée $a$ est à $10^{-n}$ près si $|x - a| \leq 10^{-n}$.
À retenir
- Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$ sans trou, défini par ses bornes et le type de crochet (ouvert/fermé).
- L'intersection ($\cap$) est le « et » : les éléments communs. La réunion ($\cup$) est le « ou ».
- Un encadrement $a \leq x \leq b$ signifie que $x \in [a;b]$.
- On peut additionner et soustraire des encadrements en respectant les règles sur les bornes.